אינטגרל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

עבור פונקציה חיובית (f(x, האינטגרל הוא השטח S הכלוא מתחת לגרף הפונקציה

האינטגרל של פונקציה ממשית הוא מושג מתמטי בתחום החשבון האינפיניטסימלי, המהווה הכללה מתמטית מרחיקת לכת של מושג הסכום. האינטגרל המסוים של פונקציה נתונה, כגון $\ f(x)=x^2$ , על-פני קטע סופי, כגון $\ 1\leq x \leq 2$ , הוא מספר, השווה (כאשר הפונקציה חיובית ורציפה) לשטח הכלוא מתחת לגרף הפונקציה בין קצות הקטע (ראו התרשים משמאל). האינטגרל הלא מסוים של פונקציה f אינו כבול לקטע - זוהי פונקציה ממשית, שנגזרתה שווה ל-f. המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע ששתי המשמעויות האלה למושג האינטגרל - מתלכדות: אם $\ F(x)$ היא אינטגרל לא-מסוים של הפונקציה f, אז האינטגרל המסוים שלה בקטע $\ [a,b]$ הוא ההפרש $\ F(b)-F(a)$ .

לאינטגרל שימושים רבים ביותר, וביניהם חישוב השטח של תחום מישורי, הנפח של גוף מרחבי, המסה של גוף, האורך של מסילה עקומה, ההסתברות של תופעות רציפות, הכוח הפועל בין שני גופים, אנרגית החום הכוללת של אמבט, מהירותו ומקומו המרחבי של גוף הנע בהשפעת כוח בעל עוצמה משתנה, ועוד ועוד.

הראשון שהגדיר את האינטגרל המסוים במדויק היה ברנרד רימן. בעקבותיו הוצעו הכללות רבות: בתחום ההגדרה של הפונקציה (העשוי להיות הישר הממשי כולו, קוביה במרחב האוקלידי ה-n-ממדי, או כל מרחב קומפקטי מקומית), בערכים שהפונקציה עשויה לקבל (מספרים ממשיים או מרוכבים, מספרים p-אדיים, או וקטורים שאלו רכיביהם), ובאופי הפונקציות שעבורן מחושב האינטגרל.

את האינטגרל מסמנים ב-∫ או בסימן $\ \int$ , סימון שניתן על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ ושמקורו מה-s הארוכה שבתחילת המילה הלטינית summa (סכום), שאותה הוא כתב כ-ſumma. בעברית הוצע המונח "אַסכֵּמֶת", שלא התקבל.

תוכן עניינים

1 האינטגרל המסוים
2 האינטגרל הלא מסוים
3 אינטגרל לבג
4 אינטגרל רימן-סטילטיס ואינטגרל לבג-סטילטיס
5 שימושי האינטגרל
6 ראו גם
7 קישורים חיצוניים

[עריכה] האינטגרל המסוים

כאמור לעיל, האינטגרל המסוים של פונקציה ממשית, מעל קטע סגור, שווה לשטח שמתחת לגרף הפונקציה. כדי לקבל הגדרה מסודרת של האינטגרל, יש לבחון את המשמעות המדוייקת של המושג "שטח", במיוחד כאשר הגרף אינו ישר, ואף אינו בהכרח רציף. השטח של מלבן מובן היטב, ואחת הדרכים להגדיר את השטח שמתחת לגרף היא לקרב את הצורה שמתחת לגרף באמצעות מלבנים זרים (ומקבילים לצירים). בהגדרה זו יש בעיה עקרונית: כל עוד מספר המלבנים סופי, השטח הכולל שלהם אינו אלא קירוב, ותמיד אפשר לשפר אותו אם מגדילים את מספר המלבנים.

רימן הפך את הבעיה הזו להגדרה של ערך האינטגרל: במקום לחפש את הקירוב הטוב ביותר, מסכמים מלבנים קטנים ורבים יותר, כך שהקירוב ילך וישתפר. בסופו של דבר בוחרים את הגבול של סדרת הסכומים המתקבלת מסדרת הקירובים. גישה דומה, המגיעה לאותן תוצאות, מבוססת על סכומי דארבו: כאן מקרבים את הצורה באמצעות מלבנים הכלואים מתחת לגרף מחד, ומלבנים הכולאים את הגרף מלמעלה, מאידך.

[עריכה] חלוקה של קטע

סדרה (סופית) של נקודות $\ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$ נקראת חלוקה של הקטע $\ [a,b]$ . את הסדרה אפשר לפרש כאילו היא שוברת את הקטע ל-n "תת-קטעים" $\ [x_0,x_1], [x_1,x_2],\dots,[x_{n-1},x_n]$ , החותכים זה את זה רק בנקודות הקצה שלהם. לכל חלוקה $\ \pi$ אפשר להגדיר קוטר - $\ \lambda(\pi) = \max_{i=1}^{n} |x_{i}-x_{i-1}|$ . מכיוון שסכום ארכי הקטעים הוא $\ b-a$ , הקוטר של חלוקה בת n קטעים הוא לפחות $\ \frac{b-a}{n}$ . מכאן שכדי לקרב את קוטר החלוקה לאפס, יש להגדיל את מספר הנקודות באופן שאינו חסום.

חלוקה $\ \pi'$ היא עידון של חלוקה $\ \pi$ , אם החלוקה הראשונה כוללת את כל הנקודות המופיעות בנקודה השניה. לדוגמא, $\ a=x_0 < x_1 < x_2 < x_3=b$ מעדנת את $\ a=x_0 < x_2 < x_3=b$ . ברור שבמקרה כזה, $\ \lambda(\pi') \leq \lambda(\pi)$ .

[עריכה] הגדרת האינטגרל המסוים באמצעות סכומי רימן

התכנסות סכומי רימן לאינטגרל: בכחול מתוארת חלוקה שבה בוחרים בכל תת-קטע את הנקודה הימנית; בצהוב - הנקודה השמאלית; בירוק - נקודת המינימום בתת-הקטע; ובאדום - נקודת המקסימום. הגרף המרכזי מתאר את התנהגות ארבעת הקירובים כאשר מספר המלבנים גדל. מכיוון שהפונקציה אינטגרבילית, כל הקירובים שואפים לאותו ערך.

בחלוקה נתונה $\ a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b$ , אפשר לבחור נקודה $\ \xi_i \in [x_{i-1},x_i]$ מכל תת-קטע. חלוקה כזו, יחד עם הנקודות שנבחרו מתת-הקטעים, נקראת חלוקה מסומנת. לחלוקה כזו אפשר להגדיר את סכום רימן $\sigma(f,\pi) = \sum_{i=1}^{n}{ f(\xi_i) \cdot |x_i - x_{i-1}|}$ . זהו השטח הכולל של המלבנים שבסיסם הוא הקטע $\ [x_{i-1},x_i]$ וגובהם $\ f(\xi_i)$ (עבור $\ i=1,\dots,n$ ), כאשר השטח הוא "שטח מכוון" (העשוי להיות חיובי או שלילי, בהתאם לסימן של הפונקציה בנקודה $\ \xi_i$ ). כל סכום רימן מהווה קירוב לשטח שמתחת לגרף הפונקציה, בקטע המדובר $\ [a,b]$ .

פונקציה $\ f(x)$ , המוגדרת בקטע $\ [a,b]$ , היא אינטגרבילית לפי רימן, אם לכל בחירה של סדרת חלוקות $\ \pi_1,\pi_2,\dots$ בעלות גדלים $\ \lambda(\pi_m)$ המתכנסים לאפס, הגבול $\ \lim_{m\rightarrow \infty} \sigma(f,\pi_m)$ קיים (היינו, הסדרה מתכנסת). "אינטגרביליות" פירושה שלאינטגרל המסוים יש מובן מספרי. בלעדיה, לא ניתן לחשב את השטח שמתחת לגרף בשיטה שהציע רימן.

אם הגבול $\ \lim_{m\rightarrow \infty} \sigma(f,\pi_m)$ קיים לכל סדרה של חלוקות (שקוטרן שואף לאפס), אז בכל המקרים מתקבל אותו מספר. גבול משותף זה הוא, כעניין שבהגדרה, ערכו של האינטגרל המסוים, ומסמנים אותו כך: $\ \int_a^b f(x) dx$ (המשתנה x בביטוי זה הוא "משתנה האינטגרציה", ולשמו אין כל חשיבות: אפשר לכתוב באותה מידה $\ \int_a^b f(t) dt$ או $\ \int_a^b f(\zeta)d\zeta$ ).

[עריכה] הגדרה באמצעות סכומי דארבו

חישוב הסכום העליון של פונקציה

חישוב הסכום התחתון של פונקציה

נניח ש- $\ f$ חסומה בקטע הסגור $\left[a,b\right]$ . לכל חלוקה $\ \pi$ , אפשר לחשב בנפרד את השטח שהחלוקה מאתרת מתחת לגרף, ואת השטח שהחלוקה מאתרת מעל לגרף. לצורך כך נסמן בכל תת-קטע $\ [x_{i-1},x_{i}]$ של החלוקה, את החסם העליון של הפונקציה ב- $\ M_i$ , ואת החסם התחתון ב- $\ m_i$ . (אם לפונקציה יש בתת-הקטע הזה נקודות מינימום או מקסימום, הערכים $\ m_i$ ו- $\ M_i$ יהיו הערכים שהפונקציה מקבלת באותן נקודות, אלא שנקודות הקיצון האלה אינו חייבות להתקיים (הפונקציה אינה רציפה), ואין לנו בהן כל צורך). באופן הזה, מובטח ש- $\ m_i \leq f(t) \leq M_i$ לכל $\ t$ בתת-הקטע. משום כך סביר לקבוע ששטחו של התחום המישורי המוגבל על-ידי ציר ה-x, גרף הפונקציה, והישרים $\ x=x_{i-1}$ ו- $\ x=x_{i}$ , גדול משטח המלבן $\ M_i|x_i-x_{i-1}|$ , וקטן משטח המלבן $\ m_i|x_i-x_{i-1}|$ .

אם נסכם את כל המלבנים, הסכום $\ \underline{S}(\pi) = \sum_{i=1}^{n} m_i|x_i-x_{i-1}|$ נקרא הסכום התחתון של החלוקה, ואילו $\ \overline{S}(\pi) = \sum_{i=1}^{n} M_i|x_i-x_{i-1}|$ הוא הסכום העליון שלה. קל להוכיח שאם $\ \pi'$ מהווה עידון של $\ \pi$ , אז $\ \underline{S}(\pi) \leq \underline{S}(\pi') \leq \overline{S}(\pi') \leq \overline{S}(\pi)$ , ולכן, כאשר מעדנים את החלוקה, המרחק בין הסכום העליון לתחתון מצטמצם.

החסם התחתון של כל הסכומים העליונים $\ \overline{S}(\pi)$ , עבור כל החלוקות האפשריות, הוא האינטגרל התחתון. החסם העליון של כל הסכומים התחתונים $\ \underline{S}(\pi)$ הוא האינטגרל העליון. הפונקציה אינטגרבילית לפי דארבו, אם שני ערכים אלו שווים זה לזה (פירושו של השוויון הוא שקיימת סדרה של חלוקות $\ \pi_n$ המעדנות זו את זו, כך שההפרש $\ \overline{S}(\pi_n)-\underline{S}(\pi_n)$ שואף לאפס).

אפשר להוכיח שהגדרת אינטגרביליות של פונקציה חסומה באמצעות סכומי רימן שקולה להגדרה באמצעות סכומי דארבו, ושהאינטגרל המתקבל בשני המקרים שווה. ההגדרה שנתנה לעיל מתאימה לפונקציות חסומות, ולחישוב מעל קטע סגור. עם זאת, אפשר להרחיב את ההגדרה גם למקרים כלליים יותר - ראו אינטגרל לא אמיתי.

[עריכה] מרחב הפונקציות האינטגרביליות

הסכום של פונקציות אינטגרביליות (לפי רימן) והכפולה של פונקציה אינטגרבילית בסקלר נותנים פונקציות אינטגרביליות; לכן אוסף הפונקציות האינטגרביליות מעל קטע קבוע $\ [a,b]$ מהווה מרחב וקטורי מעל שדה המספרים הממשיים.

משפט לבג מאפיין אינטגרביליות באופן הבא: פונקציה חסומה היא אינטגרבילית במובן רימן, אם ורק אם קבוצת נקודות אי-הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס.

לדוגמא, כל פונקציה רציפה וכל פונקציה מונוטונית בקטע סגור, היא אינטגרבילית. גם פונקציית רימן אינטגרבילית (והאינטגרל שלה הוא אפס). לעומת זאת, פונקציית דיריכלה אינה אינטגרבילית לפי רימן.

ההתאמה $\ f \mapsto \int_a^b f(x)dx$ היא פונקציונל ליניארי המוגדר על המרחב הזה, משום שהאינטגרל של פונקציות מקיים את התכונה $\int_a^b{[c_{1}f(x)+c_{2}g(x)]dx} = c_1\int_a^b{f(x)dx} + c_2\int_a^b{g(x)dx}$ . האינטגרל מונוטוני, במובן הבא: אם $\ f,g$ אינטגרביליות בקטע $\ [a,b]$ , ולכל $\ x\isin [a,b]$ מתקיים $\ f(x)>g(x)$ , אז $\int_a^b{f(x)dx} > \int_a^b{g(x)dx}$ .

[עריכה] חישוב האינטגרל המסוים

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מחשבת את האינטגרל המסוים, אם ידוע האינטגרל הלא-מסוים (ראו להלן). במקרים אחרים יש להפעיל שיטות אנליטיות מיוחדות, או שיטות נומריות.

[עריכה] האינטגרל הלא מסוים

[עריכה] הגדרה

פונקציה $F\left(x\right)$ נקראת פונקציה קדומה של $f\left(x\right)$ בקטע כלשהו, אם לכל נקודה בקטע $F'\left(x\right)=f(x)$ . כלומר $f\left(x\right)$ היא הנגזרת של $F\left(x\right)$ בקטע.

האינטגרל הלא מסוים של פונקציה $\ f(x)$ האינטגרבילית בקטע הסגור $\ [a,b]$ מוגדר לרוב בתור אוסף הפונקציות הקדומות שלו. בסימון: $\ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ , כאשר $\ F(x)$ היא פונקציה קדומה של $\ f(x)$ ו- $\ C\isin\mathbb{R}$ הוא קבוע שרירותי.

ניתן להצדיק את הסימון בכך שכל הפונקציות הקדומות של פונקציה ניתנות לכתיבה בתור קבוע ועוד פונקציה קדומה כלשהי. מצד אחד, אם $\ F'(x)=f(x)$ אז ברור כי גם $\ \left(F(x)+C\right)'=f(x)$ כי נגזרת של קבוע היא 0. מצד שני, אם $\ F(x),G(x)$ פונקציות קדומות של $\ f(x)$ אז מתקיים $\ \left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0$ , כלומר הפונקציה $\ F(x)-G(x)$ קבועה, כלומר $\ F(x)-G(x)=C$ , כנדרש.

בהינתן פונקציה $\ f(x)$ אינטגרבילית בקטע הסגור $\ [a,b]$ ניתן להגדיר פונקציה באופן הבא:

$\ \forall x \in [a,b] : \ \ \ F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)\,dt}$

ערכה של פונקציה זו בכל נקודה הוא ערך האינטגרל המסוים של $\ f(x)$ בין נקודה זו לנקודת מוצא כלשהי. פונקציה זו היא תמיד רציפה, אך אינה בהכרח גזירה ולכן אינה בהכרח פונקציה קדומה של $\ f(x)$ . עבור פונקציית מדרגה, למשל, לא יהיה אינטגרל זה גזיר, שכן פונקציית מדרגה אינה מקיימת את תכונת הנגזרת הבאה לידי ביטוי במשפט דארבו.

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי אומר ש $\ F(x)$ גזירה בכל מקום בו $\ f(x)$ רציפה. כלומר: אם $\ f(x)$ רציפה ב $x 0$ אזי מתקיים ש $\ F'(x_0) = f(x_0)$ . כלומר, $\ F(x)$ היא פונקציה קדומה של $\ f(x)$ באופן כללי, $\ F(x)$ לא חייבת להיות גזירה בכל מקום.

על כן, המשפט היסודי קושר בין האינטגרל המסוים $\ F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)\,dt}$ ובין האינטגרל הלא מסוים של הפונקציה, וממנו נגזרת הנוסחה היסודית $\ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ המאפשרת לחשב אינטגרל מסוים באמצעות שימוש בפונקציה קדומה.

[עריכה] דוגמה

ידוע כי הנגזרת של $\!\, x^2$ היא $\!\, 2x$ . על כן כל פונקציה קדומה של $\!\, 2x$ נבדלת מ $\!\, x^2$ בקבוע, ונכתוב: $\int 2x\,dx=x^2+c$

[עריכה] מציאת האינטגרל הלא מסוים

בניגוד לפעולת הגזירה, שהיא טכנית בעיקרה ומבוססת על כמה כללים ברורים היטב, אין "מתכון" בטוח למציאת אינטגרל לא מסוים של פונקציה. באמצעות נוסחאות הגזירה ניתן למצוא מיידית אינטגרלים לפונקציות האלמנטריות הבסיסיות, ועל מנת לבצע אינטגרציה לפונקציות מסובכות יותר ישנן שיטות אינטגרציה (החלפת משתנים, אינטגרציה בחלקים ועוד) שמאפשרות לפשט את הפונקציה ולהפוך אותה לפונקציה אחרת, שעבורה קל יותר למצוא את האינטגרל.

גם אם לא ניתן לבטא את האינטגרל הלא מסוים באמצעות פונקציה אנליטית, אין זה אומר שהאינטגרל המסוים אינו קיים. בהרבה מקרים (למשל במשוואות דיפרנציאליות) ביטויים מהצורה $\ y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x}{f(t)\,dt}$ נחשבים לפתרון קביל.

[עריכה] הערות

למעשה, סכום רימן הוא חלוקה של הקטע למלבנים צרים שגובהם הוא $\ f(\xi_i)$ , סיכום שטחיהם ומעבר לגבול כאשר פרמטר החלוקה שואף לאפס. באנליזה נומרית יש חשיבות גדולה לבחירת נקודות הביניים כדי לקבל התכנסות מהירה של הקירוב הנומרי לערך המדויק (שלרוב אינו ניתן לחישוב).

[עריכה] אינטגרל לבג

ערך מורחב – אינטגרל לבג

אינטגרל לבג הוא הכללה של אינטגרל רימן לפונקציות מדידות שפותחה על ידי המתמטיקאי אנרי לבג במסגרת מחקרו על תורת המידה. אינטגרל לבג מתבסס על מידת לבג המוגדרת מעל הישר הממשי והוא מזדהה עם אינטגרל רימן לכל פונקציה חסומה שהיא אינטגרבילית במובן רימן.

בהיות האינטגרל של לבג הכללה של אינטגרל רימן, מאפשר מושג זה לחשב אינטגרל לפונקציות שאינן אינטגרביליות במובן רימן. הרעיון באינטגרל לבג הוא לחשב את השטח לפי התמונה של הפונקציה ולא לפי התחום שלה. היתרון בגישה זו היא שלרוב התמונה של הפונקציה פשוטה בהרבה ו"פתולוגית" הרבה פחות מתחום הגדרתה. לכן, מחלקת הפונקציות שהן אינטגרביליות במובן לבג רחבה יותר ממחלקת הפונקציות האינטגרביליות רימן. למעשה, גם פונקציות שאינן רציפות באף מקום יכולות להיות אינטגרביליות לבג (בעוד שאינן אינטגרביליות רימן). אחת הדוגמאות הבסיסיות והיפות לפונקציה כזאת היא פונקציית דיריכלה.

[עריכה] אינטגרל רימן-סטילטיס ואינטגרל לבג-סטילטיס

אינטגרל רימן-סטילטיס הוא הכללה אחרת של אינטגרל רימן.

אינטגרל רימן-סטילטיס של פונקציה ממשית $\,f$ של משתנה ממשי ביחס לפונקציה ממשית $\,g$ מסומן:

$\int_a^b f(x) \, dg(x)$

ומוגדר להיות הגבול של הביטוי:

$\sum_{x_i\in P} f(c_i)(g(x_{i+1})-g(x_i))$

כאשר $\,c_i$ נמצא נמצא ברווח ה- $\,i$ בחלוקת הקטע $\,[a,b]$ לקטעים וכאשר אורך הקטע המקסימלי בחלוקה שואף ל-0.

האינטגרל אינו מוגדר כאשר לשתי הפונקציות $\,f$ ו- $\,g$ יש נקודת אי-רציפות משותפת. יש הכללה שתגדיר את האינטגרל כאשר בנקודת אי הרציפות המשותפת אחת הפונקציות רציפה מימין והשנייה משמאל.

הכללה נוספת היא אינטגרל לבג-סטילטיס, שהוא הכללה הן של אינטגרל רימן והן של אינטגרל לבג. שתי ההגדרות, של אינטגרל רימן-סטילטיס ושל אינטגרל לבג-סטילטיס הן הגדרות זהות כאשר הפונקציה $\,g$ היא פונקציה מונוטונית עולה, וזהו המקרה בו אינטגרל זה משמש בסטטיסטיקה ובמשתנים מקריים כאשר הפונקציה $\,g$ היא פונקציה ההסתברות (המצטברת).

[עריכה] שימושי האינטגרל

שימוש חשוב של האינטגרל הוא מציאת שטח. השטח בין הפונקציה $\ f(x)$ בקטע $\ [a,b]$ ובין ציר $\ x$ הוא $\ \int_a^b f(x)\, dx$ .

אורך של גרף הפונקציה $\ f(x)$ בקטע $\ [a,b]$ הוא $\ \int_a^b \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\, dx$ .

בנוסף, אפשר להשתמש באינטגרל לחישוב נפח של גוף סיבוב. גוף סיבוב הוא גוף המתקבל על ידי סיבוב של פונקציה אחת סביב ציר ה- $\ x$ . נפח גוף הסיבוב של הפונקציה $\ f(x)$ בקטע $\ [a,b]$ הוא $\ \pi\int_a^b (f(x))^2 \,dx$ .

נפח גוף הסיבוב המתקבל בין הפונקציות $\ f(x)$ ו- $\ g(x)$ הוא $\ \pi\left| \int_a^b (f(x))^2-(g(x))^2 \,dx \right|$ .

שטח הפנים של גוף סיבוב הוא $\ 2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+\left( f'(x)\right)^2}\, dx$ .

הנפח של הגוף ששטח החתך שלו עבור כל שיעור $\ x$ הוא $\ A(x)$ שווה ל- $\ \int_a^b A(x)\, dx$ .

הערך הממוצע של ערכי הפונקציה $\ f(x)$ בקטע $\ [a,b]$ הוא $\ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ספר לימוד בוויקיספר: טבלת אינטגרלים

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| אינטגרל לא אמיתי \| אינטגרל כפול \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה